Question

6．下列命题中，正确命题的序号是 ②③⑤⑥．
①过点（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y=3；
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-6=0的一个根所在的区间为（2，3）；

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

④已知双曲线的渐近线方程是5x±12y=0，则以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率e=$\frac{12}{13}$；
⑤设函数f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，则实数a的取值范围是[1，2+e]；
⑥函数f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x在区间[-3，3]上零点有5个．

Answer 1

分析 求出过点（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线方程，可判断①；
求解不等式f（x）＞2x+4，可判断②；
分析方程e^x-x-6=0根的位置，可判断③；
求出椭圆的离心率，可判断④；
求出实数a的范围，可判断⑤；
求出函数的零点个数，可判断⑥．

解答 解：①过点（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y=3或2x-y=0，故错误；
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f′（x）＞2，
g（x）=f（x）-2x满足g′（x）=f′（x）-2＞0，
即g（x）=f（x）-2x为增函数，且g（-1）=4
则f（x）＞2x+4可化为：g（x）＞4=g（-1）
解得：x∈（-1，+∞），故正确；
③根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-6=0的一个根所在的区间为（2，3），正确；
④已知双曲线的渐近线方程是5x±12y=0，
当焦点在x轴上时，则以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率e=$\frac{12}{13}$；
当焦点在y轴上时，则以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率e=$\frac{5}{13}$；
综上可得：以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率e=$\frac{12}{13}$，错误；
⑤解：f′（x）=$\frac{2}{x}$+2，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴由f[f（b）]=b，得f（b）=b；
则f（x）=x在[1，e]上有根；
即2lnx+2x-a=x；
∴a=2lnx+x；
令h（x）=2lnx+x，h′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0；
∴h（x）在[1，e]上单调递增；
∴h（x）_min=h（1）=1，h（x）_max=h（e）=2+e；
∴a∈[1，2+e]；
即实数a的取值范围是[1，2+e]．正确；
⑥由题意得，f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x=0，
①当cos2x=0时，由x∈[-3，3]得2x∈[-6，6]，
解得x=$±\frac{π}{4}$或±$\frac{3π}{4}$；
②当1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=0时，
设g（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
则g′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴=$\left\{\begin{array}{l}2015，x=-1\\ \frac{1+{x}^{2015}}{1+x}，x≠-1\end{array}\right.$，
∴g′（x）＞0，则g（x）在[-3，3]上单调递增，
∵g（-3）＜0，g（3）＞0，
∴g（x）在[-3，3]上有且仅有1个零点，
显然g（$±\frac{π}{4}$）≠0、g（±$\frac{3π}{4}$）≠0，
所以f（x）共有5个零点，正确；
故答案为：②③⑤⑥

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查直线方程，零点个数，抽象不等式的解法等知识点，难度中档．