Question

7．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（结果保留两位小数）
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=62.7$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=55．

Answer 1

分析 （1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；
（2）年利润函数为z=x（y-2），利用二次函数的图象与性质，即可得出结论．

解答 解：（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（7.0+6.5+5.5+3.8+2.2）=5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=1×7.0+2×6.5+3×5.5+4×3.8+5×2.2=62.7，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{62.7-5×3×5}{55-5{×3}^{2}}$=-1.23，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=5-（-1.23）×3=8.69，
∴线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-1.23x+8.69；
（2）年利润函数为z=x（y-2）=-1.23x²+6.69x，
所以当x=-$\frac{6.69}{-1.23}$≈2.72时，年利润取得最大值．

点评 本题考查了求线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，是基础题．