Question

在正项等比数列中{a_n}，公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大时，求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25，
∵q∈（0，1）∴a₃＞a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又a₃•a₅=4，
解得a₃=4，a₅=1，
∴

a1q2=4 a1q4=1

，解得q=

1

2

，a1=16．
故an=a1qn-1=16•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，
∴Sn=

n(4+5-n)

2

=

n(9-n)

2

，

Sn

n

=

9-n

2

，
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

n(4+ 9-n 2 )

2

=

17n-n2

4

，
故n=8或9时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大值18．

点评：本题考查了等比数列的性质和通项公式、等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．