Question

2．已知函数f（x）的图象关于（1，1）对称，当x∈（0，1]时，f（x）=x²，当x∈（-1，0]时，f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，若g（x）=f（x）-t（x+1）为定义在（-1，3）上的函数，则关于g（x）的零点个数的叙述中错误的是（　　）

• A． g（x）可能没有零点
• B． g（x）可能有1个零点
• C． g（x）可能有2个零点
• D． g（x）可能有3个零点

Answer 1

分析 求出f（x）在（-1，0]上的解析式，利用对称关系作出f（x）的函数图象，根据直线y=t（x+1）与f（x）的交点个数判断g（x）的零点个数．

解答 解：当x∈（-1，0]时，f（x）=-2+$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$=-2+$\frac{2}{x+1}$，
根据f（x）的对称性作出f（x）在（-1，3）上的函数图象如图所示：

令g（x）=0得f（x）=t（x+1），
由图象可知直线y=t（x+1）与f（x）的图象最多有3个交点，最少有1个交点，
故g（x）的零点最少有1个最多有3个，
故选A．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．