Question

7．若x是三角形内的一个最小角，则函数y=$\frac{sinxcosx+1}{sinx+cosx}$的取值范围．

Answer 1

分析 本题属于三角函数求值域类型．利用换元法设t=sinx+cosx，且求出t的范围，再利用对勾函数的性质得出y=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 在1＜t≤$\sqrt{2}$上为增函数．

解答 解：由题意知，x是三角形内的一个最小内角，∴0＜x≤60^°
令 t=sinx+cosx，等式两边平方得：sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$
∵t=sinx+cosx （0＜x≤60^°）
=$\sqrt{2}$sin（x+45^°）
∴1＜t≤$\sqrt{2}$
∴y=$\frac{\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）+1}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$
=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 
∵$t+\frac{1}{t}$在 1＜t≤$\sqrt{2}$上是增函数
∴y=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 的取值范围为 （1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
故答案为：（1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]

点评 综合利用换元、三角函数化简求函数最值属于常考题型，考生应该熟练掌握．