Question

已知两点，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为 则, ,化简可得轨迹方程.
（Ⅱ）设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆（）相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线的方程,点到直线的距离公式可求的底边上的高.进而得出面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.
试题解析：（Ⅰ）设点，       2分
整理得点M所在的曲线C的方程：（）        3分

（Ⅱ）由题意可得点P（）             4分
因为圆的圆心为（1，0），
所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数           5分
设直线PE的方程为，
与椭圆方程联立消去，得：
，         6分
由于1是方程的一个解，
所以方程的另一解为            7分
同理                        8分
故直线RQ的斜率为
=    9分
把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去整理得
所以       10分
原点O到直线RQ的距离为              11分
   12分