Question

已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或或.

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义可求得和，再根据，可求得。即可求出椭圆方程。（Ⅱ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉（或）得到关于的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知且。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否，为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解， 注意讨论根的取舍。
试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为．依题意
，所以．
又，所以．
于是椭圆的标准方程为．                       5分
（Ⅱ）依题意，显然直线斜率存在.设直线的方程为，则
由得．
因为,得．        ①
设，线段中点为，则
于是．
因为，线段中点为，所以．
（1）当，即且时，
，整理得．           ②
因为，，
所以
，
整理得，解得或．
当时，由②不合题意舍去.
由①②知，时，．
（2）当时，
（ⅰ）若时，直线的方程为，代入椭圆方程中得.
设，,依题意，若△为等腰直角三角形，则
.即，解得或.不合题意舍去，
即此时直线的方程为.
（ⅱ）若且时，即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.
综上，直线的方程为或或.       14分