Question

已知椭圆：的离心率为且与双曲线：有共同焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作的切线，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆上的一点作轴的垂线交轴于点，若点满足，，连结交于点，求证：.

Answer 1

（1）；（2）2；（3）证明详见解析.

试题分析：（1）有离心率，求得 (s)，由公共焦点得即 (t),解由（s）（t）组成的方程组即可.
（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程中，消去y，得到关于x的一元二次方程，其判别式等于零，可得,在求出直线l与坐标轴的交点，写出围成的三角形的面积，再把代入，即可最的最小值.
（3），设，，求出的坐标，由向量平行的充要条件可得，在求出直线AC的方程，整理得，然后求出P点坐标即可.
试题解析：（1）由可得：即
①         2分
又即②联立①②解得：
椭圆的方程为：        3分
（2）与椭圆相切于第一象限内的一点，直线的斜率必存在且为负
设直线的方程为：
联立消去整理可得：
③，      4分
根据题意可得方程③只有一实根，
整理可得：④      6分
直线与两坐标轴的交点分别为且      7分
与坐标轴围成的三角形的面积⑤，      8分
④代入⑤可得：（当且仅当时取等号）    9分
（3）由（1）得，设，
，可设，
由可得：即    11分
直线的方程为：整理得：
点在上，令代入直线的方程可得：，    13分
即点的坐标为为的中点    14分，设，，求出的坐标，由向量平行的充要条件可得，在求出直线AC的方程，整理得，然后求出P点坐标即可.