Question

16．设函数f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a（a∈R）（e为自然对数的底数），若存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

Answer 1

分析 利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的最值问题．

解答 解：∵存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，
∴存在x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）=f^-1（x₀），
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[-1，0]上有交点．
∵f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a在[-1，0]上为增函数，
∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[-1，0]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点．
令：e^x+$\frac{1}{2}$x-a=x，则方程在[-1，0]上一定有解，
∴a=e^x-$\frac{1}{2}$x，
设g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x，
则g′（x）=e^x-$\frac{1}{2}$，
当-1＜x＜-ln2时，g′（x）＜0，g（x）在（-1，-ln2）递减；
当-ln2＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（-ln2，0）递增．
当x=-ln2时，g（x）取得极小值，也为最小值$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
g（-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{e}$，g（0）=1，即有g（x）的最大值为1．
综上可知，[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

点评 本题主要考查函数方程的转化思想，考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，综合性较强，属于难题．