Question

设函数f（x）=

a2x+a-2

2x+1

，
（1）对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，是否有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由；
（2）当a=1时，若对任意t∈[1，2]有f（m2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论；
（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，则f（m2^t-2）+f（2^t）≥0即有f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
再由单调性去掉f，得到t的不等式，运用参数分离，求出最大值即可．

解答： （1）证明：对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
证明如下：对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a•2x1+a-2

2x1+1

-

a•2x2+a-2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由于x₁＜x₂，则2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
则f（x₁）＜f（x₂）．
故对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立．；
（2）解：a=1时，f（x）=

2x-1

2x+1

，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），则f（x）为奇函数，
则f（m2^t-2）+f（2^t）≥0即有f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
由（1）知f（x）是增函数，
则m2^t-2≥-2^t，即有m≥

1

2t-1

-1，t∈[1，2]，
则

1

2t-1

-1≤

1

21-1

-1=0，
∴m≥0

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查奇偶性和单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．