题目内容

17．设函数fn（x）=-xn+3ax（a∈R，n∈N+），若对任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，则a的取值范围是（　　）
A．[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{\root{3}{16}}$]B．[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]C．[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{\root{3}{16}}$]D．[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]

分析 根据对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，说明当x取两个特殊值-1和1时|f3（1）-f3（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范围，然后把原函数f3（x）求导，得到导函数的两个零点为-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$，再求出函数f3（x）在（-1，1）上的极大值和极小值，再由极大值和极小值差的绝对值小于等于1求出a的取值范围，和由|f3（1）-f3（-1）|≤1求出的a的范围取交集即可

解答 解：因为对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，
所以|f3（1）-f3（-1）|≤1，从而有|（-1+3a）-（1-3a）|=|6a-2|≤1，
所以$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{2}$．
又f3′（x）=-3（x2-a），
在[-1，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，1]内f′3（x）＜0，
所以f3（x）在[-1，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，1]内为减函数，
f3（x）在[-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$]内为增函数，
只需|f3（$\sqrt{a}$）-f3（$\sqrt{a}$）|≤1
化简可得4a$\sqrt{a}$≤1，解得：a≤$\frac{1}{\root{3}{16}}$．
所以a的取值范围是$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{\root{3}{16}}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了数学转化思想方法，属有一定难度题．

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