Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的极小值和极大值；
（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上的截距和取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；
（2）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²e^-x，
∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函数在区间（-∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
故f（x）的极小值和极大值分别为0，$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（2）设切点为（x₀，${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$），
则切线方程为y-${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$=${e}^{-{x}_{0}}$（2x₀-x₀²）（x-x₀），
令y=0，解得x=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数，
∴${e}^{-{x}_{0}}$（2x₀-x₀²）＞0，
∴0＜x₀＜2，
令g（x₀）=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
则g′（x₀）=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}-2}{（{x}_{0}-2）^{2}}$．
当0＜x₀＜2时，令g′（x₀）=0，解得x₀=2-$\sqrt{2}$
当0＜x₀＜2-$\sqrt{2}$时，g′（x₀）＜0，函数g（x₀）单调递减；
当2-$\sqrt{2}$＜x₀＜2时，g′（x₀）＞0，函数g（x₀）单调递增．
故当x₀=2-$\sqrt{2}$时，函数g（x₀）取得极大值，也即最大值，且g（2-$\sqrt{2}$）=3-2$\sqrt{2}$．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（-∞，3-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．