Question

5．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧$\widehat{ACB}$的中点，坝宽AB为2米．
（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

Answer 1

分析 （1）以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，推导出半圆的半径为1米，求出半圆的方程、OD、DM，由此能求出水面的宽度．
（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，由此利用切线方程、导数性质能求出当渠底宽为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米时，所挖的土最少．

解答 解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，
∵AB=2米，∴半圆的半径为1米，
则半圆的方程为x²+y²=1，（-1≤x≤1，y≤0），
∵水深CD=0.4米，∴OD=0.6米，
在Rt△ODM，DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1-0．{6}^{2}}$=0.8（米），
∴MN=2DM=1.6米，
∴水面的宽度为1.6米．
（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，
设切点为P（cosθ，sinθ），（-$\frac{π}{2}$＜θ＜0）为圆弧BC上的一点，
过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ+ysinθ=1，
令y=0，得E（$\frac{1}{cosθ}$，0），令y=-1，得F（$\frac{1+sinθ}{cosθ}$，-1），
设直线梯形OCFE的面积为S，
则S=（CF+OE）•OC=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1+sinθ}{cosθ}$）×1=$\frac{2+sinθ}{cosθ}$，（-$\frac{π}{2}$＜θ＜0），
S′=$\frac{cosθcosθ-（2+sinθ）（-sinθ）}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{1+2sinθ}{co{s}^{2}θ}$，
令S′=0，解得θ=-$\frac{π}{6}$，
当-$\frac{π}{2}＜θ＜-\frac{π}{6}$时，S′＜0，函数单调递减；当-$\frac{π}{6}$＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增．
∴$θ=-\frac{π}{6}$时，面积S取得最小值，最小值为$\sqrt{3}$，
此时CF=$\frac{1+sin（-\frac{π}{6}）}{cos（-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即当渠底宽为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米时，所挖的土最少．

点评 本题考查水面的宽度的求法，考查当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线方程、导数性质的合理运用．