Question

6．已知⊙C经过A（2，1），B（3，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求⊙C的方程；
（2）过原点作直线l交⊙C于M，N两点，若$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{MN}$，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，代入点的坐标，即可求⊙C的方程；
（2）设MN=x，OM=2x（x＞0），则由割线定理可得2x•3x=1•3，可得圆心到直线的距离，即可求直线l方程．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{5+2D+E+F=0}\\{9+3D+F=0}\\{3+\frac{3}{2}D+\frac{\sqrt{3}}{2}E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-4，E=0，F=3，
∴⊙C的方程为x²+y²-4x+3=0；
（2）x²+y²-4x+3=0可化为（x-2）²+y²=1．
设MN=x，OM=2x（x＞0），则由割线定理可得2x•3x=1•3，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$，∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$x．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．