题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为| 3 |
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）连接AB1交A1B于点O，连接OD，由OD为△AB1C中B1C边上的中位线，能证明B1C∥平面ABD．
（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥AC，平面ABC⊥平面ACC1A1，BD⊥平面ACC1A1，从而得到∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角，由此能求出二面角A1-BD-A的大小．
（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥AC，平面ABC⊥平面ACC1A1，BD⊥平面ACC1A1，从而得到∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角，由此能求出二面角A1-BD-A的大小．
解答：
解：（Ⅰ）连接AB1交A1B于点O，连接OD，
则OD为△AB1C中B1C边上的中位线
所以OD∥B1C
又OD⊆平面ABD，B1C?平面ABD，
所以B1C∥平面ABD．
（Ⅱ）因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC
由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1
又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BD⊆平面ABC
所以BD⊥平面ACC1A1，又AD⊆平面ACC1A1，A1D⊆平面ACC1A1
所以AD⊥BD，A1D⊥BD，
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角
由AC=2，AA1=
，知在Rt△A1BA中，
tan∠A1DA=
=
=
所以∠A1DA=
，
故所求二面角的大小为
．
则OD为△AB1C中B1C边上的中位线
所以OD∥B1C
又OD⊆平面ABD，B1C?平面ABD，
所以B1C∥平面ABD．
（Ⅱ）因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC
由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1
又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BD⊆平面ABC
所以BD⊥平面ACC1A1，又AD⊆平面ACC1A1，A1D⊆平面ACC1A1
所以AD⊥BD，A1D⊥BD，
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角
由AC=2，AA1=
| 3 |
tan∠A1DA=
| A1A |
| AD |
| ||
| 1 |
| 3 |
所以∠A1DA=
| π |
| 3 |
故所求二面角的大小为
| π |
| 3 |
点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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