Question

某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M．A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S（单位：m²），∠AON=θ（单位：弧度）．
（Ⅰ）将S表示为θ的函数；
（Ⅱ）当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,扇形面积公式

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用三角函数的定义求出BM，AB的长，利用三角形的面积公式求出△ABM的面积
（Ⅱ）对S求导，令导函数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）如图，BM=AOsinθ=100sinθ，
AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ，θ∈（0，π）．…（3分）
则S=

1

2

MB•AB=

1

2

×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000（sinθ+sinθcosθ），θ∈（0，π）．…（6分）
（Ⅱ）S′=5000（2cos²θ+cosθ-1）
=5000（2cosθ-1）（cosθ+1）．令S′=0，
得cosθ=

1

2

或cosθ=-1（舍去），
此时θ=

π

3

．…（8分）
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：

θ	（0， π 3 ）	π 3	（ π 3 ，π）
S′	+	0	-
S	向上 ?	极大值	向下

所以，当θ=

π

3

时，S取得最大值S_max=3750

3

m²，此时AB=150m，
即点A到北京路一边l的距离为150m．…（13分）

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数的模型、函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．