Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，AA₁=4，E为AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥D₁-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结EO，由已知条件得A₁C∥OE，由此能证明A₁C∥平面BDE．
（Ⅱ）由VD1-BDE=VB-DED1，利用等积法能求出三棱锥D₁-BDE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是长方形，
∴O是AC中点，又E是AA₁的中点，
∴A₁C∥OE，
∵OE?平面BDE，A₁C不包含于平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE．
（Ⅱ）解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=AD=3，AA₁=4，E为AA₁的中点，
B到平面DED₁的距离h=AB=3，
S△DED1=

1

2

×3×4=6，
∴VD1-BDE=VB-DED1=

1

3

×h×S△DED1
=

1

3

×3×6=6．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．