题目内容
对于无穷数列{an}，记bn=an+1-an（n∈N*），给出下列定义：
①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；
②若{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使an0=M成立，则称{an}为“有最大值数列”；
③若bn+1-bn＜0（n∈N*），则称数列{an}为“差减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{
}，{-
}分别是那种数列？
（Ⅱ）在数列{an}中，a1=
，an+1=
（n∈N*），求证：数列{an}既是有上界数列又是差减小数列；（Ⅲ）若数列{an}是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列，求证：无穷数列{an}为单调递增数列．
①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；
②若{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使an0=M成立，则称{an}为“有最大值数列”；
③若bn+1-bn＜0（n∈N*），则称数列{an}为“差减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2n |
（Ⅱ）在数列{an}中，a1=
| 2 |
| 2+an |
考点：数列与函数的综合,反证法与放缩法
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）an=
时，bn+1-bn=
(
-
)＞0，由此得到数列{
}既是由上界数列，又是有最大值数列．an=-
时，bn+1-bn=
-
=-
＜0，an=-
≤0，由此得到数列{-
}是差减小数列，又是有上界数列．
（Ⅱ）假设存在某个k使得，ak＜
，（k＞1，k∈N * ）成立，则必有ak-1=ak2-2＜0，与已知矛盾；假设存在某个k使得，ak≥2，（n＞，n∈N*）成立，得到ak，ak-1，…，a1≥2成立，与a1=
＜2矛盾，故
≤an＜2．由已知推导出bn＞(
+
)bn+1＞bn+1，bn+1-bn＜0，由此证明{an}既是差减少数列又是有上界数列．
（Ⅲ）假设无穷数列{an}不是单调递增数列，设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，则数列从第k项开始为单调递减数列，由此推导出无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，由此得到无穷数列{an}一定是单调递增数列．
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
（Ⅱ）假设存在某个k使得，ak＜
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（Ⅲ）假设无穷数列{an}不是单调递增数列，设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，则数列从第k项开始为单调递减数列，由此推导出无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，由此得到无穷数列{an}一定是单调递增数列．
解答：
（Ⅰ）解：（i）an=
，显然an=
≤1，且存在n=1，a1=1，
bn=
-
=-
，
bn+1-bn=-
+
=
(
-
)＞0，
所以数列{
}既是由上界数列，又是有最大值数列．…（2分）
（i）an=-
，bn=-
+
=
，
bn+1-bn=
-
=-
＜0，an=-
≤0，
且不存在n0，使an0=0成立；所以数列{-
}是差减小数列，又是有上界数列 …（4分）
（Ⅱ）证明：下面用反证法证明
≤an＜2，
假设存在某个k使得，ak＜
，（k＞1，k∈N * ）成立，
则必有ak-1=ak2-2＜0，显然与已知矛盾，
所以ak＜
，n∈N*不成立；假设存在某个k使得，ak≥2，（n＞，n∈N*）成立，
则必有ak-1=ak2-2≥22-2=2成立，
即得到ak，ak-1，…，a1≥2成立，与a1=
＜2矛盾，所以
≤an＜2．
又an+22=2+an+1，an+12=2+an．
两式相减得：（an+2+an+1）（an+2-an+1）=an+1-an，即（an+2+an+1）bn+1=bn，
即bn＞(
+
)bn+1＞bn+1，bn+1-bn＜0，
所以{an}既是差减少数列又是有上界数列．…（4分）
（Ⅲ）证明：用反证法，假设无穷数列{an}不是单调递增数列，
则设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，
即bk≤0，又{an}是差减小数列，所以bk+1-bk＜0，
即bk+1＜bk≤0，数列{bn}从第k项开始都有bn+1＜bn，
即…＜bk+3＜bk+2＜bk+1＜bk≤0，
又因为此时bn=an+1-an＜0，
所以数列从第k项开始为单调递减数列，
又由于k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，所以无穷数列{an}中，
必有an≤ak=M，（n∈N*），
无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，所以假设不成立，
所以无穷数列{an}一定是单调递增数列．…（5分）
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
bn=
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n(n+1) |
bn+1-bn=-
| 1 |
| (n+1)(n+2) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2 |
所以数列{
| 1 |
| n |
（i）an=-
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+1 |
bn+1-bn=
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n |
且不存在n0，使an0=0成立；所以数列{-
| 1 |
| 2n |
（Ⅱ）证明：下面用反证法证明
| 2 |
假设存在某个k使得，ak＜
| 2 |
则必有ak-1=ak2-2＜0，显然与已知矛盾，
所以ak＜
| 2 |
则必有ak-1=ak2-2≥22-2=2成立，
即得到ak，ak-1，…，a1≥2成立，与a1=
| 2 |
| 2 |
又an+22=2+an+1，an+12=2+an．
两式相减得：（an+2+an+1）（an+2-an+1）=an+1-an，即（an+2+an+1）bn+1=bn，
即bn＞(
| 2 |
| 2 |
所以{an}既是差减少数列又是有上界数列．…（4分）
（Ⅲ）证明：用反证法，假设无穷数列{an}不是单调递增数列，
则设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，
即bk≤0，又{an}是差减小数列，所以bk+1-bk＜0，
即bk+1＜bk≤0，数列{bn}从第k项开始都有bn+1＜bn，
即…＜bk+3＜bk+2＜bk+1＜bk≤0，
又因为此时bn=an+1-an＜0，
所以数列从第k项开始为单调递减数列，
又由于k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，所以无穷数列{an}中，
必有an≤ak=M，（n∈N*），
无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，所以假设不成立，
所以无穷数列{an}一定是单调递增数列．…（5分）
点评：本题考查{
}，{-
}分别是那种数列的判断，考查数列{an}既是有上界数列又是差减小数列的证明，考查无穷数列{an}一定是单调递增数列的证明，解题时要认真审题，注意反证法和放缩法的合理运用．
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2n |
练习册系列答案
第1卷单元月考期中期末系列答案
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已知
，
是两个互相垂直的向量，|
|=1，|
|=2，则对任意的正实数t，|t
+
|的最小值是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| 1 |
| t |
| b |
| A、2 | ||
B、2
| ||
| C、4 | ||
D、4
|
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平面四边形，∠ABC=60°，BC=2AB，PA⊥底面ABCD．
某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M．A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S（单位：m2），∠AON=θ（单位：弧度）．