Question

17．设命题p：m∈{x|x²+（a-8）x-8a≤0}，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{5-m}$=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若当a=1时，命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可；
（2）通过讨论a的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，x²+（a-8）x-8a≤0，
即x²-7x-8≤0，解得：-1≤x≤8，
故p：-1≤m≤8，
若方程$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{5-m}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-3＞0}\\{5-m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＞5
故q：m＞5；
若命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，
则p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤8}\\{m≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞8或m＜-1}\\{m＞5}\end{array}\right.$，
解得：m∈[-1，5]∪（8，+∞）；
（2）命题p：m∈{x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x-8）（x+a）≤0}，
-a＜8即a＞-8时，p：[-a，8]，
-a＞8，即a＜-8时，p：[8，-a]，
q：m＞5，
若命题p是命题q的充分不必要条件，
即[-a，8]?（5，+∞），或[8，-a]?（5，+∞），
故-a＞5，解得：a＜-5．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断以及分类讨论思想，是一道中档题．