Question

8．已知命题p：方程x²-2$\sqrt{2}$x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2^m+1＜4．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p为真命题，则应有△=8-4m＞0，解得实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假，进而实数m的取值范围．

解答 解：（1）若p为真命题，则应有△=8-4m＞0，…（3分）
解得m＜2．…（4分）
（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，…（6分）
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q应一真一假．…（7分）
①当p真q假时，有$\left\{\begin{array}{l}m＜2\\ m≥1\end{array}\right.$，得1≤m＜2；…（10分）
②当p假q真时，有$\left\{\begin{array}{l}m≥2\\ m＜1\end{array}\right.$，无解．…（13分）
综上，m的取值范围是[1，2）．…（14分）
（注：若借助数轴观察且得出正确答案，则给满分，否则不得分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的图象和性质，难度中档．