Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁B₁BA，且AA₁=AB=BC=2，则AC与平面A₁BC所成角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 证明AD⊥平面A₁BC，得出∠ACD即为直线AC与平面A₁BC所成的角，求出AC=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出结论．

解答 解：如图，AB₁∩A₁B=D，连结CD，
∵AA₁=AB，∴AD⊥A₁B，
∵平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
则CD是AC在平面A₁BC内的射影，
∴∠ACD即为直线AC与平面A₁BC所成的角，
又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC，
因为三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC
∵AA₁=AB=BC=2，∴AC=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴sin∠ACD=$\frac{1}{2}$，∴∠ACD=$\frac{π}{6}$，
故选A．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．