Question

f（x）=x²-4ax，当a＜

1

2

时，对1＜x₁＜x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，则实数a的取值范围使

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以利用二次函数的解析式，将|f（x₁）-f（x₂）|化成关于x₁，x₂的关系式，从而将|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，化简成a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，再通1＜x₁＜x₂，求出相应式子的最值，结合条件a＜

1

2

，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）=x²-4ax，
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|x 12-4ax₁-x 22+4ax₂|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-4a）|，
∵1＜x₁＜x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，
∴|x₁+x₂-4a|＞2，
∴a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

1

4

(x1+x2-2)＞0，

1

4

(x1+x2+2)≥1
∵a＜

1

2

，
∴a≤0．
故答案为：a≤0．

点评：本题考查了二次函数与基本不等式关系，本题难度不大，属于基础题．