Question

15．设函数f（x）=（x+a）（|x-a+1|+|x-3|）-2x+4a的图象是中心对称图形，则实数a的值为（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 ①当a-1=3，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8，x≥3}\\{-2{x}^{2}-4x+40，x＜3}\end{array}\right.$，从而判断；
②当a-1≠3，即a≠4时，令b=min{a-1，3}，c=max{a-1，3}；从而可得f（x）在（-∞，b）上是二次函数，在（b，c）上是一次函数，在（c，+∞）上是二次函数；从而可得对称中心一定在区间（b，c）的中点$\frac{a+2}{2}$，且在（-∞，b）上，f（x）=-2x²-ax+a（a+2）+4a，在（c，+∞）上，f（x）=2x²+（a-4）x-a（a+2）+4a，从而可得-$\frac{a}{4}$-$\frac{a-4}{4}$=2$\frac{a+2}{2}$，从而解得．

解答 解：①当a-1=3，即a=4时，
f（x）=2（x+4）|x-3|-2x+16=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8，x≥3}\\{-2{x}^{2}-4x+40，x＜3}\end{array}\right.$，
故f（x）的图象不是中心对称图形，
②当a-1≠3，即a≠4时，
f（x）=（x+a）（|x-a+1|+|x-3|）-2x+4a，
设b=min{a-1，3}，c=max{a-1，3}；
故f（x）在（-∞，b）上是二次函数，在（b，c）上是一次函数，
在（c，+∞）上是二次函数；
故若f（x）的图象是中心对称图形，
则对称中心一定在区间（b，c）的中点，
在（-∞，b）上，f（x）=-2x²-ax+a（a+2）+4a，
在（c，+∞）上，f（x）=2x²+（a-4）x-a（a+2）+4a，
故-$\frac{a}{4}$-$\frac{a-4}{4}$=2$\frac{a+2}{2}$，
故a=-$\frac{2}{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了函数的对称性的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用．