Question

设函数f_n（x）=x-

x3

3!

+

x5

5!

-…+（-1）^n-1

x2n-1

(2n-1)!

，（x∈[0，1]，n∈N^*），则（　　）

• A、f₂（x）≤sinx≤f₃（x）
• B、f₃（x）≤sinx≤f₂（x）
• C、sinx≤f₂（x）≤f₃（x）
• D、f₂（x）≤f₃（x）≤sinx

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：构造函数F（x）=sinx-f₂（x），利用导数可得F（x）是[0 1]内的增函数，F（x）≥0，即f₂（x）≤sinx．同理f₃（x）≥sinx，从而得到sinx、f₂（x）、f₃（x）的大小关系．

解答： 解：∵函数f_n（x）=x-

x3

3!

+

x5

5!

-…+（-1）^n-1

x2n-1

(2n-1)!

，（x∈[0，1]，n∈N^*），
则f₂（x）=x-

x3

6

，f₃（x）=x-

x3

6

+

x5

120

，显然f₂（x）≤f₃（x）．
构造函数F（x）=sinx-f₂（x）=sinx-x+

x3

6

，其中0≤x≤1，且F（0）=0．
所以F'（x）=cosx-1+

x2

2

，且F'（0）=0，
F''（x）=-sinx+x=x-sinx≥0恒成立，
所以F'（x）递增，所以F'（x）≥F'（0）=0，所以F（x）是[0 1]内的增函数，F（x）≥0，
即sinx-f₂（x）≥0恒成立，所以，f₂（x）≤sinx．
同理可证：f₃（x）≥sinx，
故选：A．

点评：本题主要考查比较几个数的大小的方法，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．