Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，且过点（0，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）设A（2，2），在椭圆上求一点B，使△OAB的面积最小；
（3）Q在椭圆上，延长OQ至P，使|OP|=2|OQ|，设C（-2

2

，0），D（2

2

，0）求证：|PC|+|PD|为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：对于第（1）问，由离心率得a与c的齐次关系，联立c²=a²-b²，得a与b的齐次关系，由椭圆过点（0，1）知，b=1，从而得a²与b²的值，即得椭圆的标准方程．
对于第（2）问，由于|OA|确定，要使△OAB的面积最大，只需点B到直线OA的距离最大即可，可将直线OA平移至与椭圆相切时，OA与切线间的距离即为点B到OA的最大距离，设切线方程为l：y=x+b，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，由△=0，得b的值，由此可探求点B的坐标．
对于第（3）问，设点P（x，y），点Q（x0，y₀），先由代入法求得点P的轨迹为椭圆，算出此椭圆的焦点坐标，即可知|PC|+|PD|为定值．

解答： 解：（1）由e=

6

3

，得

c

a

=

6

3

，即

c2

a2

=

2

3

，
∵c²=a²-b²，∴

a2-b2

a2

=

2

3

，得a²=3b²，…①
又此椭圆过点（0，1），∴b=1，…②
联立①，②，得a²=3，b²=1，
从而椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设点B到直线OA的距离为d，则S△OAB=

1

2

|OA|•d=

1

2

×2

2

•d=

2

d，
所以当d最大时，S_△0AB最大．
由于直线OA的斜率kOA=

2

2

=1，可设与OA平行且与椭圆相切的直线方程为l：y=kx+b，
此时直线OA与l的距离即为d的最大值．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得4x²+6bx+3b²-3=0，
由△=0，得（6b）²-4×4（3b²-3）=0，得b=±2，
当b=2时，有4x²+12x+9=0，得x=-

3

2

，从而y=-

3

2

+2=

1

2

，即B(-

3

2

，

1

2

)；
当b=-2时，有4x²-12x+9=0，得x=

3

2

，从而y=

3

2

-2=-

1

2

，即B(

3

2

，-

1

2

)．
故当点B的坐标为(-

3

2

，

1

2

)或(

3

2

，-

1

2

)时，△OAB的面积最大．
（3）设P（x，y），Q（x₀，y₀），
因为|OP|=2|OQ|，则由中点公式得

x0= x 2 y0= y 2

，…③
又点Q在椭圆上，得

x 2 0

3

+

y

2 0

=1，…④
将③代入④中，得

( x 2 )2

3

+(

y

2

)2=1，即点P的轨迹为椭圆：

x2

12

+

y2

4

=1，
易知其左、右焦点的坐标分别为C(-2

2

，0)、D(2

2

，0)，
根据椭圆定义知，点P到C、D的距离之和为2×2

3

=4

3

，即|PC|+|PD|为定值，得证．

点评：本题考查了椭圆的定义，椭圆的方程与轨迹方程的求法，三角形面积的最值问题，及直线与椭圆的相切关系等，关键是运用转化思想，将点到直线距离转化为两平行直线间的距离，并利用椭圆的定义获取定值．