Question

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[-4，0]的图象，图象的最高点为B（-1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧

DE

．
（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

DE

上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：应用题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；
（2）令y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)=1求解x，从而求景观路GO的长；
（3）作图求平行四边形的面积S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-

2 3

3

sinθ）2sinθ=

4 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

2 3

3

，θ∈（0，

π

3

）；从而求最值．

解答： 解：（1）由已知条件，得A=2，
又∵

T

4

=3 ，T=

2π

ω

=12 ，
∴ω=

π

6

，
又∵当x=-1时，
有y=2sin(-

π

6

+ϕ)=2
∴  ϕ=

2π

3

，
∴曲线段FBC的解析式为y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)  ，x∈[-4，0]．
（2）由y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)=1得，
x=6k+（-1）^k-4（k∈Z），
又∵x∈[-4，0]，
∴k=0，x=-3，
∴G（-3，1），OG=

10

；
∴景观路GO长为

10

千米．
（3）如图，

OC=

3

 ，CD=1 ，
∴  OD=2 ，∠COD=

π

6

，
作PP₁⊥x轴于P₁点，在Rt△OPP₁中，
PP₁=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，

OP

sin120°

=

OM

sin(60°-θ)

，
∴OM=

OPsin(60°-θ)

sin120°

=2cosθ-

2 3

3

sinθ，
S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-

2 3

3

sinθ）2sinθ=2sin2θ+

2 3

3

cos2θ-

2 3

3

=

4 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

2 3

3

，θ∈（0，

π

3

）；
当2θ+

π

6

=

π

2

时，即θ=

π

6

时，
平行四边形面积有最大值为

2 3

3

（平方千米）．

点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．