Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：解法一：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，则有b22=b1b3，由此能求出存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），由此能求出数列{a_n}的前n项和．
解法二：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，设

bn

bn-1

=q（n≥2），即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．由此能求出存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．从而Sn=

1

3

[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)]，由此能求出数列{a_n}的前n项和．

解答： 解法一：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
则有b22=b1b3．①
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），解得λ=1或λ=-2．
当λ=1时，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有

bn

bn-1

=

an+1+an

an+an-1

=

(an+2an-1)+an

an+an-1

=2（n≥2）．
当λ=-2时，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

(an+2an-1)-2an

an-2an-1

=-1（n≥2）．
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ=

4(1-4 n 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-4)．
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ=1+

8(1-4 n-1 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-5)．
故数列{a_n}的前n项和Sn=

1 3 (2n+2-4)，n为偶数 1 3 (2n+2-5)，n为奇数.

∴Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．
解法二：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设

bn

bn-1

=q（n≥2），即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．
与已知a_n+1=a_n+2a_n-1比较，
令

q-λ=1 qλ=2.

解得λ=1或λ=-2．
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，

an+1+an=4×2n-1 an+1-2an=1×(-1)n-1.

所以an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．
则Sn=

1

3

[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)]，
当n为偶数时，Sn=

1

3

(22+23+24+25+…+2n+2n+1)=

1

3

×

4(1-2n)

1-2

=

1

3

(2n+2-4)．
当n为奇数时，Sn=

1

3

[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]
=

1

3

×[

4(1-2n)

1-2

-1]=

1

3

(2n+2-5)．
故数列{a_n}的前n项和Sn=

1 3 (2n+2-4)，n为偶数 1 3 (2n+2-5)，n为奇数.

∴Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．

点评：本题考查等比数列的判断和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．