Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：作图题,函数的性质及应用

分析：作出在区间（-2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，
∵对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）是周期函数，且周期为4；
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，
∴其在区间（-2，6]内的图象如右图，
∴在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=log_a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，
则log_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）＞3
解得，a∈（

3	4

，2）．
故选D．

点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．