Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F₁，F₂为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆C上的左顶点，直线∫过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足k₁+
k₂=-

1

2

，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），则G（

x0

3

，

y0

3

），由已知条件推导出a=2c，b=

| 6 |

1+1

=

3

由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l为y=k（x-1），直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理能求出直线MN的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），则G（

x0

3

，

y0

3

）．…（2分）
又IG∥F₁F₂，yI=

y0

3

，|F₁F₂|=2c，
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)•

|y0|

3

．…（4分）
∴2c=

2a+2c

3

，故a=2c．
又直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，
∴b=

| 6 |

1+1

=

3

，…（6分），
∴a=2，c=1．∴

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅱ）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意；…（8分）
则直线l的斜率存在．
设直线l为y=k（x-1），直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
依题意：△=9k²+9＞0，…（10分）
由韦达定理知：

x1+x2= 8k2 3+4k x1x2= 4k2-12 3+4k2

，
又k_AM+k_AN=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k（

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

）
=k[2-3（

1

x1+2

+

1

x2+2

）]，

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

8k2+4(3+4k2)

4k2-12+16k2+4(3+4k2)

=

2k2+1

3k2

，
从而k_AM+k_AN=k（2-3•

2k2+1

3k2

）=-

1

k

=-

1

2

，…（14分）
解得k=2，符合△＞0．
故所求直线MN的方程为：y=2（x-1）．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．