Question

如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱锥D-ABC的体积是

2

6

；
④AB与CD所成的角是60°．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得①正确；
通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得②正确；
利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③错误；
建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求异面直线AB与CD所成的角，可得④正确．

解答： 解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：DO=BO=

2

2

，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，①正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，②正确；
∵V_D-ABC=

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

2

12

，∴③错误；
建立空间直角坐标系如图：
则

AB

=（-

2

2

，

2

2

，0），

CD

=（

2

2

，0，

2

2

），
∴cos＜

AB

，

CD

＞=-

1

2

，∴异面直线AB与CD所成的角是60°，∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力，要熟练掌握利用向量坐标运算求异面直线所成的角的方法．