Question

19．椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，．

Answer 1

分析 由椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x-1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d=$\frac{丨0-2+1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△MBN的面积S=$\frac{1}{2}$•丨MN丨•d．

解答 解：由题意可知：椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$右焦点（1，0），右顶点（2，0），
设直线L的方程为y=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7x²-8x-8=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$，
则B到直线L的距离d=$\frac{丨0-2+1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
△MBN的面积S=$\frac{1}{2}$•丨MN丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{7}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
∴△MBN的面积为$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
故答案为：$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．