Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA=CA，PA⊥底面ABCD，E，F，分别为PD，PC的中点，且底面ABCD中，∠ABC，∠ACD都为直角，∠BAC，∠CAD的大小都为60°．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：平面PCD⊥平面AEF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，∠BAC的平分线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．
（2）求出平面PCD的法向量和平面AEF的法向量，由此利用向量法能证明平面PCD⊥平面AEF．

解答： （1）证明：以A为原点，∠BAC的平分线为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=CA=2，则AD=4，CD=2

3

，AB=1，BC=

3

，
C（

3

，1，0），P（0，0，2），D（0，4，0），
E（0，2，1），B（

3

2

，-

1

2

，0），A（0，0，0），

CE

=（-

3

，1，1），

AP

=（0，0，2），

AB

=（

3

2

，-

1

2

，0），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =2z=0 n • AB = 3 2 x- 1 2 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，3，0），
∵

CE

•

n

=-3+3+0=0，且CE?平面ABP，
∴CE∥平面PAB．
（2）解：F（

3

2

，

1

2

，1），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1），

AE

=（0，2，1），

PC

=（

3

，1，-2），

PD

=（0，4，-2），
设平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC = 3 a+b-2c=0 m • PD =4b-2c=0

，取b=1，得

m

=（

3

，1，2），
设平面AEF的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
则

p • AE =2y1+z1=0 p • AF = 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

，取y=1，得

p

=（

3

，1，-2），
∵

m

•

p

=3+1-4=0，
∴平面PCD⊥平面AEF．

点评：本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．