Question

已知函数f（x）=

3

sin?xcos?x+sin²?x-

1

2

．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，求ω的取值范围；
（2）若f（x）的最小正周期为π，f（

α

2

）=

3

5

，求f（

π

2

-α）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，
（1）求出函数的周期的范围，即可求解ω的取值范围．
（2）f（x）的最小正周期为π，求出ω，通过f（

α

2

）=

3

5

，推出sin(α-

π

6

)=

3

5

，化简f（

π

2

-α）然后利用二倍角公式求出所求表达式的值．

解答： 解：f(x)=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2?x-

1

2

cos2?x=sin(2?x-

π

6

)
（1）由题意知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1又ω＞0∴0＜ω≤1…（7分）
（2）∵T=

π

ω

=π∴ω=1，
故f(x)=sin(2x-

π

6

)，
f(

α

2

)=sin(α-

π

6

)=

3

5

，
cos(2α-

π

3

)=1-2sin2(α-

π

6

)=

7

25

，
f(

π

2

-α)=sin(

5π

6

-2α)=sin[

π

2

-(2α-

π

3

)]=

7

25

…（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，是中档题．