题目内容
已知函数g（x）=
x3+
（a-2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
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（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
| f(x2)-f(x1) |
| x1-x2 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．
解答：
解：（1）f（x）=
x2+（a-2）x-2alnx（x＞0），
f′（x）=x+a-2-
=
（x＞0），
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在（-a，+∞）上是增函数．
（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
＜a恒成立，
当x1＞x2时，等价于 f（x2）-f（x1）＜a（x1-x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1 恒成立．
令g（x）=f（x）+ax=
x2-2alnx-2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．
又g′（x）=x-
-2+2a=
，只要x2+（2a-2）x-2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．
设h（x）=x2+（2a-2）x-2a，则由△=4（a-1）2+8a=4a2+4＞0及
得
，a∈∅，
当x1＜x2时，等价于 f（x2）-f（x1）＞a（x1-x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1 恒成立，
g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，
综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有
＜a．
| 1 |
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f′（x）=x+a-2-
| 2a |
| x |
| (x-2)(x+a) |
| x |
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在（-a，+∞）上是增函数．
（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
| f(x2)-f(x1) |
| x1-x2 |
当x1＞x2时，等价于 f（x2）-f（x1）＜a（x1-x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1 恒成立．
令g（x）=f（x）+ax=
| 1 |
| 2 |
又g′（x）=x-
| 2a |
| x |
| x2+(2a-2)x-2a |
| x |
设h（x）=x2+（2a-2）x-2a，则由△=4（a-1）2+8a=4a2+4＞0及
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当x1＜x2时，等价于 f（x2）-f（x1）＞a（x1-x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1 恒成立，
g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，
综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有
| f(x2)-f(x1) |
| x1-x2 |
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．
练习册系列答案
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已知对数函数的图象过点M（9，2），则此对数函数的解析式为（ ）
| A、y=log2x | ||
| B、y=log3x | ||
C、y=log
| ||
D、y=log
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