Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，求数列{b_n}的前2m项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S_n=

1

4

(an+1)2，由此利用递推思想能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由Sn=

1

4

(an+1)2，得当n≥2时，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，进而a_n-a_n-1=2．由此能证明数列{a_n}是等差数列．
（3）由a_n=2n-1，得为2n-1≥m，从而n≥

m+1

2

．由此能求出数列{b_n}的前2m项和．

解答： （1）解：（

Sn

）²=

1

4

(an+1)2，
即S_n=

1

4

(an+1)2，
当n=1时，a1=

1

4

(a1+1)2，a₁＞0，
解得a₁=1．
∴S2=1+a2=

1

4

(a2+1)2，a₂＞0，
解得a₂=3，
S3=4+a3=

1

4

(a3+1)2，a₃＞0，
解得a₃=5．
（2）证明：由（1）得Sn=

1

4

(an+1)2，
当n≥2时，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an2-an-12+2an-2an-1)，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列．
（3）解：由（2）得a_n=2n-1，∴a_n≥m，即为2n-1≥m，
∴n≥

m+1

2

．
①m为奇数，则nmin=

m+1

2

，∴S2m=

2m2+3m

2

．
②m为偶数，则n_min=

m+2

2

，∴S2m=

2m2+5m

2

．
综上所述，S_2m=

2m2+3m 2 ，m为奇数 2m2+5m 2 ，m为偶数

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．