题目内容
某企业某年年初建厂生产某种产品，其年产量为y件，每件产品的利润为2200元，建厂年数为x，y与x的函数关系式为y=-2x2+40x+50．由于设备老化，从2011年起，年产量开始下滑．若该企业2012年投入100万元用于更换所有设备，则预计当年可生产产品122件，且以后每年都比上一年增产14件．
（1）若更换设备后，至少几年可收回投入成本？
（2）试写出更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式；并求出，到哪一年年产量可超过假定设备没有更换的年产量？
（1）若更换设备后，至少几年可收回投入成本？
（2）试写出更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式；并求出，到哪一年年产量可超过假定设备没有更换的年产量？
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（1）确定设备更新后第n年的利润，组成等差数列，求出n年的总利润，根据当总利润超过100万元时可收回投入成本，建立不等式，即可求得结论；
（2）求出当建厂10年时产量最大，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10），根据当Q≥250，可得结论．
（2）求出当建厂10年时产量最大，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10），根据当Q≥250，可得结论．
解答：
解：（1）设至少n年可收回投入成本，则：
设备更新后第一年的产量=122，设备更新后第一年的利润L1=122×2200
设备更新后第二年的产量=122+14×1，设备更新后第二年的利润L2=（122+14×1）×2200
…
设备更新后第n年的产量Q=122+14（n-1），设备更新后第n年的利润Ln=[122+14（n-1）]×2200
∴n年的总利润L=L1+L2+L3+…+Ln
=2200[122+（122+14）+（122+14×2）+…+122+14（n-1）]
=2200[122n+7n（n-1）]
=2200（7n2+115n）
∵当总利润超过100万元时可收回投入成本
∴2200（7n2+115n）≥1000000
∴77n2+1265n-5000≥0
解得n≥3.29或n≤-19.38（舍去）
∵年数取整数，∴n=4
∴至少4年可收回投入成本；
（2）y=-2x2+40x+50=-2（x-10）2+250
∴当建厂10年时产量最大，ymax=250
∴更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10）
当Q≥250时有：14x-32≥250
解得x≥20.14≈20
∴约建厂20年的时候产量超过设备没有更换的年产量．
设备更新后第一年的产量=122，设备更新后第一年的利润L1=122×2200
设备更新后第二年的产量=122+14×1，设备更新后第二年的利润L2=（122+14×1）×2200
…
设备更新后第n年的产量Q=122+14（n-1），设备更新后第n年的利润Ln=[122+14（n-1）]×2200
∴n年的总利润L=L1+L2+L3+…+Ln
=2200[122+（122+14）+（122+14×2）+…+122+14（n-1）]
=2200[122n+7n（n-1）]
=2200（7n2+115n）
∵当总利润超过100万元时可收回投入成本
∴2200（7n2+115n）≥1000000
∴77n2+1265n-5000≥0
解得n≥3.29或n≤-19.38（舍去）
∵年数取整数，∴n=4
∴至少4年可收回投入成本；
（2）y=-2x2+40x+50=-2（x-10）2+250
∴当建厂10年时产量最大，ymax=250
∴更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10）
当Q≥250时有：14x-32≥250
解得x≥20.14≈20
∴约建厂20年的时候产量超过设备没有更换的年产量．
点评：本题考查函数模型的建立，考查等差数列的判定，考查解不等式，确定设备更新后第n年的利润，组成等差数列是关键．
练习册系列答案
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函数f(x)=cos2x+sin(
+x)是（ ）
| 5π |
| 2 |
| A、非奇非偶函数 |
| B、仅有最小值的奇函数 |
| C、仅有最大值的偶函数 |
| D、既有最大值又有最小值的偶函数 |