Question

9．已知定义域为（0，+∞）、值域为R的函数f（x），对于任意x，y∈（0，+∞）总有f（xy）=f（x）+f（y）．当x＞1时，恒有f（x）＞0．
（1）求证：f（x）必有反函数；
（2）设f（x）的反函数是f^-1（x），若不等式f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1对任意的实数x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先令x=y=1，再令y=$\frac{1}{x}$，得到f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），再根据定义证明f（x）在其定义域内为单调增函数，即可证明，
（2）由（1）可知f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1等价于f[f^-1（-4^x+k•2^x-1）]＜f（1）恒成立，即-4^x+k•2^x-1＜0，分离参数，根据基本不等式即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令y=$\frac{1}{x}$，则f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），
∴f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），
在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，
则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂）+f（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=f（x₂）-f（x₁），
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在其定义域内为单调增函数，
故f（x）一定存在反函数；
（2）由（1）知f（x）在其定义域内为单调增函数，
∴f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1等价于f[f^-1（-4^x+k•2^x-1）]＜f（1）恒成立，
即-4^x+k•2^x-1＜0，
即k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
∴k＜2，
故k的取值范围为（-∞，2）

点评 本题考查了反函数的定义函数的单调性的证明，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．