Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

　(1)证明：令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(2)解：对任意x₁、x₂∈[－3,3]，设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)＝f[x₂＋(－x₁)]＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂)－f(x₁)<0，∴f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.

∴f(x)_max＝f(－3)＝6，f(x)_min＝f(3)＝－6.