Question

6．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±$\sqrt{3}$x
• C． y=±2x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 由题意可知求得直线方程，求得B和C点坐标，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，则4a²=b²，根据双曲线的渐近线方程公式，即可求得双曲线的渐近线方程．

解答 解：对于A（a，0），则直线方程为x+y-a=0，直线与渐近线的交点B，C，
则B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
则$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
则$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，即4a²=b²，
∴双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，即有y=±2x，
故选C．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．