Question

1．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连结OD，OE，则AB⊥OE，AB⊥OD，故而AB⊥平面ODE，于是AB⊥DE；
（2）以O为原点建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．

解答 （1）证明：取AB的中点O，连结OD，OE，
∵△ABE是等边三角形，∴AB⊥OE，
∵CD∥OB，CD=$\frac{1}{2}$AB=OB，BC⊥AB，
∴四边形OBCD是正方形，∴AB⊥OD，
又OD?平面ODE，OE?平面ODE，OD∩OE=O，
∴AB⊥平面ODE，又DE?平面ODE，
∴AB⊥DE．
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OD?平面ABCD，
∴OD⊥平面ABE，
以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
则A（1，0，0），B（-1，0，0），D（0，0，1），E（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
同理可得平面CE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}×2}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．