Question

15．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ，点A的极坐标为（$\sqrt{3}$，2π），把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．
（1）求圆C在直角坐标系中的标准方程；
（2）设P为圆C上任意一点，圆心C为线段AB的中点，求|PA|+|PB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C在直角坐标系中的标准方程．
（2）求出点A的直角坐标为（$\sqrt{3}$，0），圆心C（$\sqrt{3}$，-1）是线段AB的中点，点B的直角坐标为（$\sqrt{3}$，-2），由圆C的参数方程设点P（$\sqrt{3}+2cosθ$，-1+2sinθ），则|PA|+|PB|=$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ-1）^{2}}$+$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ+1）^{2}}$=$\sqrt{10+2\sqrt{25-16si{n}^{2}θ}}$，由此能求出|PA|+|PB|的最大值．

解答 解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ，
∴圆C的极坐标方程为ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ-2ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x+2y=0$，
∴圆C在直角坐标系中的标准方程为（$x-\sqrt{3}$）²+（y+1）²=4．
（2）∵点A的极坐标为（$\sqrt{3}$，2π），
∴点A的直角坐标为（$\sqrt{3}$cos2π，$\sqrt{3}sin$2π），即（$\sqrt{3}$，0），
圆心C（$\sqrt{3}$，-1）是线段AB的中点，点B的直角坐标为（$\sqrt{3}$，-2），
∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.，（θ为参数）$，P为圆C上任意一点，
∴设点P（$\sqrt{3}+2cosθ$，-1+2sinθ），
则|PA|+|PB|=$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ-1）^{2}}$+$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ+1）^{2}}$
=$\sqrt{5+4sinθ}$+$\sqrt{5-4sinθ}$
=$\sqrt{（\sqrt{5+4sinθ}+\sqrt{5-4sinθ}）^{2}}$
=$\sqrt{10+2\sqrt{25-16si{n}^{2}θ}}$，
当sinθ=0时，（|PA|+|PB|）_max=$\sqrt{10+10}$=2$\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PB|的最大值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆在直角坐标系中标准方程的求法，考查两线段和的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．