Question

3．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，（t为参数），曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（1）化C₁为普通方程，C₂为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：x-2y-7=0距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用参数方程与普通方程的转化方法，可得相应方程及表示的曲线；
（2）求出M的参数坐标，M到C₃的距离，利用三角函数知识即可求解．

解答 解：（1）由C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，消去t得到曲线C₁：（x+4）²+（y-3）²=1，
C₁表示圆心是（-4，3），半径是1的圆．
曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（2）依题设，当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4）；
且Q（8cos θ，3sin θ），
故M（-2+4cos θ，2+$\frac{3}{2}$sin θ）
又C₃为直线x-2y-7=0，
M到C₃的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{4}$|4cos θ-3sin θ-13|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|5cos（θ+φ）-13|，
从而当cos θ=$\frac{4}{5}$，sin θ=-$\frac{3}{5}$时，其中φ由sin φ=$\frac{3}{5}$，cos φ=$\frac{4}{5}$确定，cos（θ+φ）=1，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查参数方程、直角坐标方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．