Question

6．心理学家分析发现视觉和空间想象力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取59名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题解答，则选题情况如表所示．

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否根据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女同学（包括甲、乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲、乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．

解答 解：（1）由表中数据得K²的观测值K²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人，抽取方法有c${\;}_{8}^{2}$=28种，
其中甲乙两人没有一个人被抽到有C${\;}_{6}^{2}$=15种，恰有一人被抽到有C${\;}_{2}^{1}$•C${\;}_{6}^{1}$=12种，
两人都被抽到有C${\;}_{2}^{2}$=1种，
所以X可能取值有0，1，2；
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$．
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	1/28

E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{12}{28}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．