Question

18．已知二次函数f（x）=x²+2mx+2m+1，
（1）若函数f（x）有两个零点，有一个零点在在区间（-1，0）内，另一个零点在区间（1，2）内，求m
的范围；
（2）若x∈[0，2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）结合函数的零点定理得到关于m的不等式组，基础即可；（2）先求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由条件，抛物线f（x）=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（-1，0）和（1，2）内，
如图（1）所示，

得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+1＜0\\ f（-1）=2＞0\\ f（1）=4m+2＜0\\ f（2）=6m+5＞0\end{array}\right.$…（3分）
⇒$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{2}}\\{m∈R}\\{m＜-\frac{1}{2}}\\{m＞-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$即-$\frac{5}{6}$＜m＜-$\frac{1}{2}$．故m的取值范围是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$）．…（6分）
（2）f（x）=x²+2mx+2m+1，x∈[0，2]的对称轴是x=-m，…（7分）
①当-m≤0时，即m≥0时，f（x）_min=f（0）=2m+1
②当0＜-m≤2时，即-2≤m＜0时，$f{（x）_{min}}=f（-m）=-{m^2}+2m+1$
③当-m＞2时，即m＜-2时，f（x）_min=f（2）=6m+5…（11分）
综上：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2m+1，（m≥0）\\-{m^2}+2m+1，（-2≤m＜0）\\ 6m+5，（m＜-2）\end{array}\right.$…（13分）

点评 本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，分类讨论思想，是一道中档题．