Question

一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点
（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：
（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4

2

，∠CBF=90°，由此能证明MN∥平面CDEF．
（Ⅱ）（法一）作BQ⊥CF于Q，连结AQ，由已知得AB⊥面BCF，AB⊥CF，BQ⊥CF，∠AQB为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角A-CF-B的余弦值．
（Ⅱ）（法二）：以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CF-B的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由三视图知，
该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=4，DE=CF=4

2

，∠CBF=90°，
连结BE，M在BE上，连结CE
EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE?面CDEF，
所以MN∥平面CDEF．（5分）
（Ⅱ）解法一：作BQ⊥CF于Q，连结AQ，
面BFC⊥面ABFE，面ABFE∩面BFC=BF，
AB?面ABFE，AB⊥BF，
∴AB⊥面BCF，
CF?面BCF，∴AB⊥CF，BQ⊥CF，AB∩BQ=B，
∴CF⊥面ABQ，AQ?面ABQ，
AQ⊥CF，∴∠AQB为所求的二面角的平面角，（8分）
在Rt△ABQ中，tan∠AQB=

AB

BQ

=

4

2 2

=

2

，
∴cos∠AQB=

3

3

，
∴二面角A-CF-B的余弦值为

3

3

．（12分）
（Ⅱ）解法二：以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（-4，4，0），
面CBF法向量为

n

=(0，1，0)，

CA

=(0，-4，-4)，

CF

=(-4，0，-4)，（8分）
设面ACF法向量为

m

=(x，y，z)，

m ⊥ CA m ⊥ CF

⇒

(x，y，z)•(0，-4，-4)=0 (x，y，z)•(-4，0，-4)=0

⇒

-4y-4z=0 -4x-4z=0

取z=-1，所以x=1，y=1，

m

=(1，1，-1)
设二面角为θ，
cosθ=

m • n

| m || n |

=

(0，1，0)•(1，1，-1)

3

=

3

3

，
∴二面角A-CF-B的余弦值为

3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．