Question

已知函数f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=xe^b-x（b∈R），且函数g（x）的最大值为1．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）有唯一的零点，且对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）g′（x）=

(1-x)eb

ex

，易知x=1是最大值点，利用g（1）=1解出b；
（2）f′（x）=

x-a

x

（x＞0），分a≤0，a＞0时研究单调性以及零点个数，得出a≤0，或a=1，然后由导数得到函数f（x）和g（x）在[3，4]上为增函数，问题对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立转化为函数f（x）在[3，4]上的导数的绝对值小于函数h（x）=

1

g(x)

在[3，4]上的导数的绝对值，分离变量a后再利用导数求最值得答案．

解答： 解：（1）g′（x）=

(1-x)eb

ex

，当（-∞，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）_max═g（1）=

eb

e

=1，
即e^b=e，则b=1；
（2）f′（x）=

x-a

x

（x＞0），
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，符合题意；
②a＞0时，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）_min=f（a）=a-lna-1，函数f（x）有唯一零点，则a-lna-1=0，
∴a=1，
综上所述，a≤0，或a=1时，函数f（x）有唯一零点．
当a=1时，f（x）=x-lnx-1，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
当x∈[3，4]时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当a≤0时，f（x）=x-alnx-1为增函数．
函数h(x)=

1

g(x)

=

ex-1

x

，当x∈[3，4]时，h′(x)=

(x-1)ex-1

x2

＞0，函数为增函数．
对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，
即等价于|1-

a

x

|=|

x-a

x

|＜|

(x-1)ex-1

x2

|，
∵a≤0，或a=1，x∈[3，4]，
即

x-a

x

＜

(x-1)ex-1

x2

，也就是a＞x-

(x-1)ex-1

x

在[3，4]上恒成立．
令t（x）=x-

(x-1)ex-1

x

，t′(x)=1-

ex-1(x2-x+1)

x2

，
当x∈[3，4]时，t′（x）＜0，
∴t（x）=x-

(x-1)ex-1

x

在[3，4]上为减函数，
则t(x)min=t(4)=4-

3

4

e3．
t(x)max=t(3)=3-

2

3

e2．
∴3-

2

3

e2＜a≤0或a=1．

点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力，是压轴题．