Question

3．等腰直角三角形ABC中，直角边AB所在直线方程为y=2x，斜边BC中点D坐标为（4，2），求直角边AC所在直线方程．

Answer 1

分析 设斜边BC所在直线的斜率为k，AB所在直线的斜率为k₀，显然k₀=2，求出直线BC的方程，联立方程组求出B，C的坐标，即可求出直线AC的方程．

解答 解：设斜边BC所在直线的斜率为k，AB所在直线的斜率为k₀，显然k₀=2
则∵BC与AB的夹角为45°
故|$\frac{{k}_{0}-k}{1+k•{k}_{0}}$|=1，
即1+2k=±（2-k），
解得 k=$\frac{1}{3}$ 或 k=-3
（1）当k=$\frac{1}{3}$时，BC所在直线的方程为 y-2=$\frac{1}{3}$（x-4），或 x-3y+2=0
与y=2x联立得 B（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），故C（$\frac{38}{5}$，$\frac{16}{5}$）
∵AB⊥AC，∴AC所在直线斜率k₁=-$\frac{1}{2}$，
AC所在直线方程为 y-$\frac{16}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{38}{5}$）
即 x+2y-14=0
（2）当k=-3时，AB所在直线的方程为 y-2=-3（x-4），或 3x+y-14=0
与y=2x联立得 B（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$），故C（$\frac{26}{5}$，$\frac{2}{5}$）
∵AB⊥AC，∴AC所在直线斜率k₁=-$\frac{1}{2}$，
AC所在直线方程为 y-$\frac{2}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{26}{5}$）
即 x+2y-6=0

点评 本题考查了直线方程的求法，中点坐标公式，属于中档题．