Question

已知函数f（x）=ax+

4

x

．
（Ⅰ）从区间（-2，2）内任取一个实数a，设事件A={函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点}，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）首先求出参数的取值范围，再利用概率公式计算即可．
（Ⅱ）先求出f（x）的最小值，然后讨论a的取值，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点，
∴f（x）-2=0，即ax²-2x+4=0有两个不同的正根x₁和x₂
∴

a≠0 x1+x2= 2 a ＞0 x1x2= 4 a ＞0 △=4-16a＞0

⇒0＜a＜

1

4

∴P(A)=

1 4

4

=

1

16

（Ⅱ）由已知：a＞0，x＞0，所以f(x)≥2

ax• 4 x

，即f(x)≥4

a

∴f(x)min=4

a

，
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立
∴4

a

＞b2…（*）
当a=1时，b=1适合（*）；
当a=2，3，4，5时，b=1，2均适合（*）；
当a=6时，b=1，2，3均适合（*）；
满足（*）的基本事件个数为1+8+3=12．
而基本事件总数为6×6=36，
∴P(B)=

12

36

=

1

3

．

点评：本题主要考查了古典概型的概率问题以及函数的零点和最值问题．