题目内容
已知f（x）=x3+ax2-a2x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x3+x2-x+2，
∴f'（x）=3x2+2x-1…（2分）
∴k=f'（1）=4，
又f（1）=3，
∴切点坐标为（1，3），
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a）
由f'（x）=0得x=-a或x=
…（7分）
（1）当a＞0时，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜
．
由f'（x）＞0，得x＜-a或x＞
-------------------------（9分）
此时f（x）的单调递减区间为(-a，
)，单调递增区间为（-∞，-a）和(
，+∞)．…（10分）
（2）当a＜0时，
由f'（x）＜0，得
＜x＜-a．
由f'（x）＞0，得x＜
或x＞-a-------------------------------（12分）
此时f（x）的单调递减区间为(
，-a)，单调递增区间为(-∞，
)和（-a，+∞）．------（13分）
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为(-a，
)，单调递增区间为（-∞，-a），(
，+∞)；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为(
，-a)单调递增区间为(-∞，
)，（-a，+∞）---（14分）
∴f（x）=x3+x2-x+2，
∴f'（x）=3x2+2x-1…（2分）
∴k=f'（1）=4，
又f（1）=3，
∴切点坐标为（1，3），
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a）
由f'（x）=0得x=-a或x=
| a |
| 3 |
（1）当a＞0时，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜
| a |
| 3 |
由f'（x）＞0，得x＜-a或x＞
| a |
| 3 |
此时f（x）的单调递减区间为(-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
（2）当a＜0时，
由f'（x）＜0，得
| a |
| 3 |
由f'（x）＞0，得x＜
| a |
| 3 |
此时f（x）的单调递减区间为(
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为(-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为(
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在区间[-1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2-1的概率是（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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