Question

试做一个上端开口的圆柱形容器，它的净容积为V，壁厚为a（包括侧壁和底部），其中V和a均为常数．问容器内壁半径为多少时，所用的材料最少？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：设容器内壁的半径为x（x＞0），容器的高为h，构造函数f（x）=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．利用导数确定函数的最值，从而求出容器内壁半径为

3	V π

时，所用的材料最少．

解答： 解：设容器内壁的半径为x（x＞0），容器的高为h，
则h=

V

πx2

．
∴所用材料f（x）=底部所用材料=侧壁所用材料
=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．
∴f′(x)=2πa(x+a)-2aV(

1

x2

+

1

a2

)
=

2aπ(x+a)

x3

(x3-

3	V π

)(x2+

3	V π

x+(

3	V π

)2)
令f′（x）=0得，x=

3	V π

．
∴函数在x=

3	V π

处取得最小值．
∴容器内壁半径为

3	V π

时，所用的材料最少．

点评：本题考查利用导数求函数最值，构造函数解决实际问题等知识，属于中档题．